Chứng minh Bất đẳng thức Bunhiacopxki kèm ví dụ minh họa

Xuất bản: 26/08/2019 - Cập nhật: 09/09/2022 - Tác giả:

Bất đẳng thức Bunhiacopxki, các dạng BĐT Bunhiacopxki trong chương trình học, chứng minh và nhận dạng sai lầm hay gặp khi áp dụng Bunhiacopxki vào các bài toán

Cùng Đọc tài liệu điểm danh những kiến thức cơ bản đối với BĐT Bunhiacopxki em nhé:

Kiến thức cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng thông thường

1. Dạng bài toán áp dụng bất đẳng thức này khá thông dụng trong chương trình học của các em:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Chứng minh: 

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²

↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0 => luôn đúng

Dấu " = " xảy ra khi ac=bd

2. Với a,b,x,y là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:

(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)

Dấu bằng xảy ra khi xa=yb

(a+b)2x+ya2x+b2y

(với x,y > 0, a,b là số thực)

3. Với bộ 3 số a, b, c và x, y, z ta có:

(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)

Dấu bằng xảy ra khi  xa=yb=zc

(a+b+c)2x+y+za2x+b2y+c2z

(x,y,z >0, a,b là số thực)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng hợp

Dạng 1

Cho hai dãy số thực a1,a2,an và  b1,b2,bn ta có:

(a1b1+a2b2++anbn)2(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1b1=a2b2==anbnvới quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

Đây là công thức do ba nhà toán học độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz phát hiện và đề xuất.

Chứng minh: 

Đặt A=a12+a22+...+an2,B=b12+b22+...+bn2,C=a1b1+a2b2+...+anbn

=> Chúng ta cần phải chứng minh được A.B > C²

Nếu A = 0 thì a1=a2=an, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

(a1xb1)20a12x22a1b1x+b120

(a2xb2)20a22x22a2b2x+b220

.........

(anxbn)20an2x22anbnx+bn20

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên được:

(a12+a22+...+an2)x22(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b12+b22+...+bn2)0

tức là Ax² - 2Cx + B ≥ 0 (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay x=CA  vào (1) ta được:

A.C2A22.C2A+B0BC2A0ABC20ABC2

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

a1x=b1,a2x=b2,...,anx=bn

tức là a1b1=a2b2==anbn với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0 => đpcm

Một số dạng Bất đẳng thức Bunhiacopxki khác mà em có thể tham khảo:

Dạng 2:

(a12+a22++an2)(b12+b22++bn2)|a1b1+a2b2++anbn|

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  a1b1=a2b2==anbn

Dạng 3:

(a12+a22++an2)(b12+b22++bn2)a1b1+a2b2++anbn

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  a1b1=a2b2==anbn0

Dạng 4: 

Cho hai dãy số tùy ý a1,a2,,an và  x1,x2,,xn ta có: với x1,x2,,xn> 0

Khi đó ta có:

a12x1+a22x2++an2xn(a1+a2++an)2x1+x2++xn

Dấu bằng xảy ra khi:  a1x1=a2x2==anxn0

Lưu ý khi biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 1

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

Sai lầm thường gặp khi áp dụng Bunhiacopxki

Cho a là số thức dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=a2+1a2

Hướng dẫn:

sai lầm hay gặp phải khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ví dụ minh họa

Tham khảo 2 bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki trong các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=a2+1a2+b2+1b2

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

{a2+1a2=117.(a2+1a2).(42+12)117(4a+1a)b2+1b2=117.(b2+1b2).(42+12)117(4b+1b)

bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki số 1

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

a+ba+b+c+b+ca+b+c+c+aa+b+c6


Bài làm

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được

bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki số 2

Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?
Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn
Hủy

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM