Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 - 2022

Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 - 2022 chi tiết giúp các em đối chiếu bài làm của mình. Tuyển tập đề thi Toán chuyên PTNK qua các năm.

   Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán năm học 2021 - 2022 của trường THPT chuyên PTNK (HCM) được cập nhật nhanh nhất!

Đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu 2021- 2022

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán của trường Phổ thông năng khiếu năm 2021 chính thức sẽ được cập nhật 

ngay khi kỳ thi diễn ra vào ngày 26/5/2021.

Câu 1.Cho hệ \(\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}=2 \\ x+y=m \end{array}\right. \)

a) Giải hệ khi m=7 

b) Tìm m sao cho hệ đã cho có nghiệm,

Câu 2. Cho \(M = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\);

\(N = \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\) ;

 \(K = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}\)
và a, b, c; a + b; a +c ; b + c ≠ 0.

a) Chứng minh rằng nếu \(MK = \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab c} \) thì N = 0

b) Cho M = K = 4, N = 1. Tính abc.

Câu 3: Cho n số thực \(x_1, x_2,...,x_n (n\geq 5)\) thoả mãn

\(\left\{\begin{matrix} x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n\\ x_1+x_2+...+x_n=1 \end{matrix}\right.\)

a) chứng minh rằng: Nếu \(x_n\geq \frac{1}{3}\) thì \(x_1+x_2 \leq  x_n\)

b) chứng minh rằng: nếu \(x_1\leq\frac{2}{3}\) thì tồn tại \(k \epsilon N^*\), k < n sao cho \(\frac{1}{3} \leq x_1 + x_2+ ...+ x_k \leq \frac{2}{3}\)

Câu 4:

a) Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho \((2n+1)^3 + 1\,\vdots \,2^{2021}\)

b) Cho tất cả số tự nhiên n, số nguyên tố p sao cho 

\(\dfrac{2n+2}{p} \) và \(\dfrac{4n^2+2n+1}{p} \epsilon \mathbb{Z}\)

Chứng minh rằng với n và p tìm được, các số nguyên trên không phải là số chính phân

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; E thuộc AB, F thuộc AC sao cho EF song song BC. Dựng đường tròn I đường kính EF cắt BF; CE tại M và N. Gọi D là giao của BF và CE; DH vuông góc EF (H thuộc EF).

a) Chứng minh AD đi qua I và (HMN) qua I

b) Gọi K; L là hình chiếu vuông góc của E; F lên BC. EM và FN cắt BC tại P và Q. Chứng minh rằng AEPL; AFQK nội tiếp và \(\dfrac{BP.BL}{CQ.CK}\) không đổi khi E; F di động.

c) Nếu KF và EL cắt nhau tại một điểm thuộc (I) thì EM; FN cắt nhau tại một điểm thuộc BC.

Bài 6. Cho tập A gồm 26 phần tử. Xét N (N ≥ 6) tập con B1, B2 , ….. , BN phân biệt của tập A, mỗi tập con có đúng 5 phần tử. 

a) Biết rằng hai tập bất kỳ trong các tập Bộ đều có đúng một phần tử chung và không có phần tử nào của tập A xuất hiện trong tất cả các tập Bi, chứng minh rằng không có phần tử nào của tập A xuất hiện đồng thời trong 6 tập Bi nào đó,

b) Biết rằng hai tập bất kỳ trong các tập Bi đều có đúng hai phần tử chung và không có phần tử nào của tập A xuất hiện trong tất cả các tập Bi, hỏi trong các tập B1, B2, ..., BN có thể có nhiều nhất bao nhiêu tập sao cho các tập này có đúng 2 phần tử chung?

Đáp án đề thi chuyên Toán PTNK năm học 2021 - 2022

Đang cập nhật tiếp

Đáp án</span> đề thi chuyên Toán PTNK năm 2021 câu 1

Câu 2

Thầy Võ Quốc Bá Cẩn (giáo viên trường THCS Archimedes, Hà Nội) và Lê Viết Ân (giáo viên trường Phổ thông Năng khiếu) giải:

Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 câu 2
 

Câu 3. 

Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 câu 3
 

Câu 4.

Thầy Võ Quốc Bá Cẩn (giáo viên trường THCS Archimedes, Hà Nội) và Lê Viết Ân (giáo viên trường Phổ thông Năng khiếu) giải:

Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 câu 4
 

Câu 5.

Gợi ý lời giải từ Khương Nguyễn - CLB Toán Lim

Đáp án câu 5 đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021
 

a) Theo bổ đề hình thang thì: AD đi qua trung điểm EF,BC. 

Gọi EM giao FN tại A. Gọi MN cắt EF tại S. 

Theo tính chất quen thuộc thì: D là trực tâm XS nên SH.SI=SD.SR=SE.SF => I,H,M,N đồng viên

b) 

1) Ta chỉ cần chứng minh: AEPL nội tiếp là đi, vai trò của tứ giác AFQK là tương tự. 

Ta có: góc BEP = góc AFM = góc ALB(do tr giác AFLB nội tiếp)=> AEPL nội tiếp. Trong tư thì: AFQK nội tiếp.

2) Ta có \(\dfrac{B P . B L}{C Q . C K}=\dfrac{B E \cdot B A}{C F . C A}=\dfrac{A B^ 2}{C A^ 2}=\text { const }\)

Đáp án đề thi chuyên Toán Phổ thông Năng khiếu năm học 2021 câu 5 ý c

Câu 6.

Thầy Võ Quốc Bá Cẩn (giáo viên trường THCS Archimedes, Hà Nội) và Lê Viết Ân (giáo viên trường Phổ thông Năng khiếu) giải:

a) Giả sử tồn tại một phần tử X của tập A sao cho x thuộc sáu tập Bi nào đó. Không mất tính tổng quát, giả sử x ∈ B1, x ∈ B2, x ∈ B3, x ∈ B4, x ∈ B5 và x + B6. Vì x không thể thuộc tất cả các tập Bi nên tồn tại một tập Bi nào đó không chứa x. Không mất tính tổng quát, giả sử Bi không chứa x. 

Đặt Bi = {a, b, c, d, e}. Ta thấy Bi có đúng một phần tử chung với từng tập trong các tập B1, B2, B3, B4, B5, B6. Không mất tính tổng quát, giả sử a là phần tử chung của B7 và B1. Khi đó, a không thể là phần tử chung của B7 và B2 (vì nếu không B1 và B2 sẽ có hai phần tử chung là a và x). Do đó, B7 và B2 sẽ có phần tử chung khác a. Không mất tính tổng quát, giả sử b là phần tử chung của B7 và B2. 

Cứ như vậy, ta có thể giả sử c là phần tử chung của B7 và B3. d là phần tử chung của B7 và B4, e là phần tử chung của B7 và B5. Lúc này, Bộ7 và B6 không có phần tử chung nào, mâu thuẫn. 

Vậy không có phần tử nào của tập A xuất hiện đồng thời trong sáu tập Bi nào đó. 

b) Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng với hai phần tử x, y phân biệt bất kỳ của tập A thì có không quá bốn tập Bi chứa hai phần tử này. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại năm tập Bi nào đó chứa x và y. Không mất tính tổng quát, giả sử B1, B2, B3, B4, B5, cùng chứa x và y. Khi đó, theo giả thiết, tồn tại một tập Bị không chứa x. Không mất tính tổng quát, giả sử B6 không chứa x. Xét các trường hợp sau. 

• Trường hợp 1: B6 chứa y. Đặt B6 = {y, a, b, c, dở. Ta thấy B6 có đúng hai phần tử chung với từng tập trong các tập B1, B2, B3, B4, B5. Không mất tính tổng quát, giả sử a là phần tử chung của B6 và B1. Khi đó, a không thể là phần tử chung của B6 và B2, (vì nếu không B1 và B2 sẽ có ba phần tử chung là a, x, y). Do đó, B6 và B2 sẽ có phần tử chung khác a. Không mất tính tổng quát, giả sử b là phần tử chung của B6 và Ba. Cứ như vậy, ta có thể giả sử c là phần tử chung của Ba và B4, A là phần tử chung của B6 và B4.

Lúc này, B6 và B5, chỉ có đúng một phân tử chung, mâu thuẫn. 

• Trường hợp 2: B, không chứa y. Đặt B = {a, b, c, d, e}. Ta thấy B6 và B có đúng hai phần tử chung, không mất tính tổng quát, giả sử là a và b. Khi đó, a, b không thể thuộc bất kỳ tập hợp nào trong các tập B2, B3, B4, B (vì nếu không sẽ có hai tập có ba phần tử chung). Do đó, hai phần tử chung của B6 và B2 khác a và b. Không mất tính tổng quát, giả sử hai phần tử chung đó là c và d. Hoàn toàn tương tự, ta thấy c và d không thể thuộc B3. Suy ra B6 và B 3 có không quá một phần tử chung, mâu thuẫn. 

Như vậy, có không quá bốn tập Bi sao cho các tập này có đúng hai phần tử chung. Bây giờ, xét sáu tập hợp:

B1 = {a,b,c,d,e), B2 = {a,b, f, g, h), B3 = {a,b, i, j, k).

B4 = {a,b, l, m, n). B5 = {a, c, f. 1.), B6 = {b, c, f. j. m). 

Ta thấy sáu tập hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài, đồng thời bốn tập hợp B1, B2, B3, B4, có hai phần tử chung. Vậy có nhiều nhất bốn tập có đúng hai phần tử chung.

Dưới đây là đề thi chính thức của các năm trước giúp các em thử sức tại nhà:

Tuyển tập đề thi vào 10 chuyên toán PTNK các năm trước

Đề thi chuyên Toán PTNK năm 2020 - 2021

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên PTNK 2020

Xem chi tiết đáp án Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán chuyên PTNK 2020

Đề thi chuyên Toán PTNK năm 2019 - 2021

Đề thi chuyên Toán PTNK năm 2019 - 2021

Xem đầy đủ đáp án đề thi chuyênToán vào lớp 10 PTNK 2019

Đề thi chuyên Toán PTNK năm 2018 - 2019

Đáp án đề thi Toán chuyên vào lớp 10 PTNK 2018

Chi tiết có trong Đáp án đề thi Toán chuyên vào lớp 10 PTNK 2018

   Trên đây là toàn bộ nội dung của đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán không chuyên năm 2021 và các năm trước của trường Phổ thông năng khiếu và một số thông tin về kỳ thi vào lớp 10 được Đọc Tài Liệu chia sẻ. 

   Mong rằng những tài liệu của chúng tôi sẽ là người đồng hành giúp các bạn hoàn thành tốt bài thi của mình.

Tham khảo thêm:

Điểm chuẩn tuyển sinh lớp 10 PTNK

Huyền Chu (Tổng hợp)
Bài viết đã giải quyết được vấn đề của bạn chưa?
Rồi
Chưa

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM