I Lý thuyết so sánh hai phân số
1. So sánh các phân số cùng mẫu số
Trong hai phân số có cùng mẫu số:
- + Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
- + Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- + Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ: 12>14;27<25;56=5612>14;27<25;56=56
2. So sánh các phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số:
- + Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
- + Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
- + Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau
Ví dụ:
12>14;27<25;56=5612>14;27<25;56=56
3. So sánh các phân số khác mẫu
Quy đồng mẫu số
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số.
- Bước 2: So sánh hai phân số có cùng mẫu số đó.
- Bước 3: Rút ra kết luận.
Ví dụ: So sánh hai phân số:23 và 5723 và 57
Cách giải:
Ta có MSC=21MSC=21.
Quy đồng mẫu số hai phân số ta có
23=2×73×7=1421;57=5×37×3=152123=2×73×7=1421;57=5×37×3=1521
Ta thấy hai phân số 1421 và 15211421 và 1521 đều có mẫu số là 2121 và 14<1514<15 nên 1421<15211421<1521
Vậy: 23<5723<57
Quy đồng tử số
Muốn so sánh hai phân số khác tử số, ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới.
- Bước 1: Quy đồng tử số hai phân số.
- Bước 2: So sánh hai phân số có cùng tử số đó.
- Bước 3: Rút ra kết luận.
Ví dụ: So sánh hai phân số: 2123 và 31852123 và 3185
Cách giải:
Ta có: TSC=6TSC=6 . Quy đồng tử số hai phân số ta có
2123=2×3123×3=6369;3185=3×2185×2=63702123=2×3123×3=6369;3185=3×2185×2=6370
Ta thấy hai phân số 6369 và 63706369 và 6370 đều có tử số là 66 và 369<370369<370 nên 6369>63706369>6370
Vậy 2123>31852123>3185
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu số hoặc tử số, trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp đặc biệt khác.
II 7 phương pháp so sánh phân số cần nhớ
1. Dùng số 1 làm trung gian
Nếu ab>1ab>1 và cd<1cd<1 thì ab>cdab>cd
Ta sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số kia có tử số bé hơn mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số 2017201820172018 và 2016201520162015
Cách giải
Vì 20172018<120172018<1 và 20162015>120162015>1 nên 20172018<2016201520172018<20162015
2. Dùng một phân số làm trung gian
Ta sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung gian để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
Nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai.
Ví dụ : So sánh hai phân số 15371537 và 18311831
Cách giải
Cách số 1: Xét phân số trung gian 15311531 (phân số này có tử số là tử số của phân số thứ nhất, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai).
Vì 1537<15311537<1531 và 1531<18311531<1831 nên 1537<18311537<1831
Cách số 2: Xét phân số trung gian 18371837 (phân số này có tử số là tử số của phân số thứ hai, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ nhất).
Vì 1831>18371831>1837 và 1837>15371837>1537 nên 1831>15371831>1537
Trường hợp 2
Nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ (gần bằng) với một phân số nào đó thì ta chọn phân số đó làm trung gian.
Ví dụ : So sánh hai phân số 3838
và 413413Cách giải
Ta nhận thấy cả hai phân số 3838 và 413413 đều xấp xỉ 1313 nên ta dùng phân số 1313 làm trung gian.
Ta có:
38>39=1338>39=13 nên 38>13(1)38>13(1) ;
413<412=13413<412=13 nên 413<13(2)413<13(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 38>41338>413
3. So sánh “phần thừa” của hai phân số
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thừa” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thừa” so với 1 của hai phân số đã cho.
Ví dụ: So sánh hai phân số 7976 và 86837976 và 8683
Cách giải
Ta có: 7976=1+376;8683=1+3837976=1+376;8683=1+383 vì 376>383376>383 nên 7976>86837976>8683
Nhận xét: Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Trường hợp 2
Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số 4314 và 1034314 và 103
Cách giải
Lấy tử số chia cho mẫu số: 43:14=343:14=3( dư 1), 10:3=310:3=3 (dư 1).
Chọn phần nguyên của thương làm số chung (có 3).
Thực hiện phép trừ: 4314−3=114;103−3=134314−3=114;103−3=13
Vậy ta có: 4314=3+114;103=3+134314=3+114;103=3+13. Vì 13>114 nên 4314<10313>114 nên 4314<103
Trường hợp 3
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân số thì có thương bằng nhau.
Ví dụ:So sánh hai phân số 1341 và 19711341 và 1971
Cách giải
Lấy mẫu số chia cho tử số: 41:13=341:13=3 (dư 2); 71:19=371:19=3(dư 14).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng 1:3+1=4(có14)1:3+1=4(có14)
Thực hiện phép trừ: 1341−14=11164;1971−14=52841341−14=11164;1971−14=5284
Vậy ta có: 1341=14+11164;1971=14+52841341=14+11164;1971=14+5284
Vì: 5284<11284<11164 nên 1971<13415284<11284<11164 nên 1971<1341
4. So sánh “phần thiếu” của hai phân số
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thiếu” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu của mẫu số và tử số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thiếu” so với 1 của hai phân số đã cho
Ví dụ: So sánh hai phân số 4243 và 58594243 và 5859
Cách giải
Ta có: 1−4243=143;1−5859=1591−4243=143;1−5859=159
Vì 143>159143>159 nên 4243<58594243<5859
Nhận xét: Nếu hai phân số có “phần bù” tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Trường hợp 2
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân số thì có thương bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số 25 và 3725 và 37
Cách giải
Lấy mẫu số chia cho tử số: 5:2=25:2=2 (dư 1); 7:3=27:3=2 (dư 1).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương (có 1212 )
Thực hiện phép trừ: 12−25=110;12−37=11412−25=110;12−37=114
Vậy ta có: 25=12−110;37=12−11425=12−110;37=12−114
Vì 110>114 nên 25<37110>114 nên 25<37
5. Nhân thêm cùng một số vào hai phân số
Ta sử dụng phương pháp nhân thêm cùng một số vào hai phân số khi nhận thấy tử số của hai phân số đều bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta nhân cả hai phân số với cùng một số tự nhiên (là phần nguyên của thương) để đưa về dạng so sánh “phần bù” đến 1.
Ví dụ:So sánh hai phân số 1152 và 17761152 và 1776
Cách giải
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 8 nên ta nhân cả hai phân số với 4.
Ta có:
1152×4=4452;1776×4=6876.1−4452=852;1−6876=8761152×4=4452;1776×4=6876.1−4452=852;1−6876=876
Vì 852>876852>876 nên 4452<68764452<6876 hay 1152<17761152<1776
6. Thực hiện “phép chia hai phân số”
Ta sử dụng phương pháp “chia hai phân số” khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số 223 và 941223 và 941
Cách giải
Ta có: 223:941=223×419=82207223:941=223×419=82207. Vì 82207<182207<1 nên 223<941223<941
7. Đảo ngược phân số để so sánh
Ta sử dụng phương pháp đảo ngược phân số khi nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta đảo ngược phân số để đưa về dạng so sánh “phần thừa”.
Ví dụ: So sánh hai phân số 2189 và 200380172189 và 20038017
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 5.
Ta có: 1:2189=8921;1:20038017=801720031:2189=8921;1:20038017=80172003
mà 8921=4+521;80172003=4+520038921=4+521;80172003=4+52003
Vì 521>52003521>52003 nên 8921>801720038921>80172003
Suy ra 2189<200380172189<20038017
Tham khảo thêm: Khái niệm phân số
III Bài tập so sánh hai phân số
Bài 1: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh hai phân số sau
a) 40054007 và 19991997 a) 40054007 và 19991997
b) 2549 và 3571 b) 2549 và 3571
c) 19972003 và 19952101 ; c) 19972003 và 19952101 ;
d) 20072005 và 20052003 d) 20072005 và 20052003
e) 1327 và 715 e) 1327 và 715
Bài 2: Hãy so sánh hai phân số sau
a) 77777727777778 và 888888818888888977777727777778 và 8888888188888889
b) 12243648601734516885 và 1326395265183654729012243648601734516885 và 13263952651836547290
Bài 3: Không quy đồng tử số hoặc mẫu số, hãy sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn
a) 2615;215253;1010;2611;1522532615;215253;1010;2611;152253
b) 56;12;34;23;4556;12;34;23;45
c) 32;54;65;76;87;98 và 10932;54;65;76;87;98 và 109
d) 1522;1726;1930;2134;2338;25421522;1726;1930;2134;2338;2542
e) 1213;3431;1114;3332;15151213;3431;1114;3332;1515
Bài 4: Hãy so sánh
a) A=20032004+20042005A=20032004+20042005 và B=2003+20042004+2005B=2003+20042004+2005
b) C=432143214321999999999999C=432143214321999999999999 và D=1231+1231+1231+12311997+19971997+199819982000D=1231+1231+1231+12311997+19971997+199819982000
c) E=2006987654321+2007246813579E=2006987654321+2007246813579 và G=2007987654321+2006246813579G=2007987654321+2006246813579
Bài 5: Không tính ra kết quả, hãy so sánh:
a) A=17+113+125+149+197A=17+113+125+149+197 với 1313
b) B=111+112+113+114+115+116+117+118+119+120B=111+112+113+114+115+116+117+118+119+120 với 1212
c) C=121+122+123+124+…+179+180C=121+122+123+124+…+179+180 với 39403940
d) D=20062007+20072008+20082009+20092006D=20062007+20072008+20082009+20092006 với 4
e) E=14+19+116+125+…+14048144 với 1
Trên đây là các phương pháp so sánh phân số đã được Đọc Tài Liệu biên soạn. Chúc bạn luôn học tốt và đạt những kết quả cao.