I Lý thuyết so sánh hai phân số
1. So sánh các phân số cùng mẫu số
Trong hai phân số có cùng mẫu số:
- + Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
- + Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- + Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ: \(\frac{1}{2}>\frac{1}{4} ; \quad \frac{2}{7}<\frac{2}{5} ; \quad \frac{5}{6}=\frac{5}{6}\)
2. So sánh các phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số:
- + Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
- + Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
- + Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau
Ví dụ:
\(\frac{1}{2}>\frac{1}{4} ; \quad \frac{2}{7}<\frac{2}{5} ; \quad \frac{5}{6}=\frac{5}{6}\)
3. So sánh các phân số khác mẫu
Quy đồng mẫu số
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Quy đồng mẫu số hai phân số.
- Bước 2: So sánh hai phân số có cùng mẫu số đó.
- Bước 3: Rút ra kết luận.
Ví dụ: So sánh hai phân số:\(\frac{2}{3} \text { và } \frac{5}{7}\)
Cách giải:
Ta có \(MSC = 21 \).
Quy đồng mẫu số hai phân số ta có
\(\frac{2}{3}=\frac{2 \times 7}{3 \times 7}=\frac{14}{21} ; \quad \frac{5}{7}=\frac{5 \times 3}{7 \times 3}=\frac{15}{21}\)
Ta thấy hai phân số \(\frac{14}{21} \text { và } \frac{15}{21}\) đều có mẫu số là \(21\) và \(14 < 15\) nên \(\frac{14}{21}<\frac{15}{21}\)
Vậy: \(\frac{2}{3}<\frac{5}{7}\)
Quy đồng tử số
Muốn so sánh hai phân số khác tử số, ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới.
- Bước 1: Quy đồng tử số hai phân số.
- Bước 2: So sánh hai phân số có cùng tử số đó.
- Bước 3: Rút ra kết luận.
Ví dụ: So sánh hai phân số: \(\frac{2}{123} \text { và } \frac{3}{185}\)
Cách giải:
Ta có: \(TSC = 6\) . Quy đồng tử số hai phân số ta có
\(\frac{2}{123}=\frac{2 \times 3}{123 \times 3}=\frac{6}{369} ; \quad \frac{3}{185}=\frac{3 \times 2}{185 \times 2}=\frac{6}{370}\)
Ta thấy hai phân số \(\frac{6}{369} \text { và } \frac{6}{370}\) đều có tử số là \(6\) và \(369<370\) nên \(\frac{6}{369}>\frac{6}{370}\)
Vậy \(\frac{2}{123}>\frac{3}{185}\)
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu số hoặc tử số, trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp đặc biệt khác.
II 7 phương pháp so sánh phân số cần nhớ
1. Dùng số 1 làm trung gian
Nếu \(\frac{a}{b}>1\) và \(\frac{c}{d}<1\) thì \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)
Ta sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số kia có tử số bé hơn mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{2017}{2018}\) và \(\frac{2016}{2015}\)
Cách giải
Vì \(\frac{2017}{2018}<1\) và \(\frac{2016}{2015}>1\) nên \(\frac{2017}{2018}<\frac{2016}{2015}\)
2. Dùng một phân số làm trung gian
Ta sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung gian để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
Nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai.
Ví dụ : So sánh hai phân số \(\frac{15}{37}\) và \(\frac{18}{31}\)
Cách giải
Cách số 1: Xét phân số trung gian \(\frac{15}{31}\) (phân số này có tử số là tử số của phân số thứ nhất, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai).
Vì \(\frac{15}{37}<\frac{15}{31}\) và \(\frac{15}{31}<\frac{18}{31}\) nên \(\frac{15}{37}<\frac{18}{31}\)
Cách số 2: Xét phân số trung gian \(\frac{18}{37}\) (phân số này có tử số là tử số của phân số thứ hai, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ nhất).
Vì \(\frac{18}{31}>\frac{18}{37}\) và \(\frac{18}{37}>\frac{15}{37}\) nên \(\frac{18}{31}>\frac{15}{37}\)
Trường hợp 2
Nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ (gần bằng) với một phân số nào đó thì ta chọn phân số đó làm trung gian.
Ví dụ : So sánh hai phân số \(\frac{3}{8}\)
Cách giải
Ta nhận thấy cả hai phân số \(\frac{3}{8}\) và \(\frac{4}{13}\) đều xấp xỉ \(\frac{1}{3}\) nên ta dùng phân số \(\frac{1}{3}\) làm trung gian.
Ta có:
\(\frac{3}{8}>\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) nên \(\frac{3}{8}>\frac{1}{3}(1)\) ;
\(\frac{4}{13}<\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) nên \(\frac{4}{13}<\frac{1}{3}(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{3}{8}>\frac{4}{13}\)
3. So sánh “phần thừa” của hai phân số
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thừa” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thừa” so với 1 của hai phân số đã cho.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{79}{76} \text { và } \frac{86}{83}\)
Cách giải
Ta có: \(\frac{79}{76}=1+\frac{3}{76} ; \frac{86}{83}=1+\frac{3}{83}\) vì \(\frac{3}{76}>\frac{3}{83}\) nên \(\frac{79}{76}>\frac{86}{83}\)
Nhận xét: Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Trường hợp 2
Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{43}{14} \text { và } \frac{10}{3}\)
Cách giải
Lấy tử số chia cho mẫu số: \( 43: 14=3\)( dư 1), \(10 : 3 = 3\) (dư 1).
Chọn phần nguyên của thương làm số chung (có 3).
Thực hiện phép trừ: \(\frac{43}{14}-3=\frac{1}{14} ; \frac{10}{3}-3=\frac{1}{3}\)
Vậy ta có: \(\frac{43}{14}=3+\frac{1}{14} ; \frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}\). Vì \(\frac{1}{3}>\frac{1}{14} \text { nên } \frac{43}{14}<\frac{10}{3}\)
Trường hợp 3
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân số thì có thương bằng nhau.
Ví dụ:So sánh hai phân số \(\frac{13}{41} \text { và } \frac{19}{71}\)
Cách giải
Lấy mẫu số chia cho tử số: \(41 : 13 = 3\) (dư 2); \(71 : 19 = 3\)(dư 14).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng \(1: 3+1=4\left(\operatorname{có} \frac{1}{4}\right)\)
Thực hiện phép trừ: \(\frac{13}{41}-\frac{1}{4}=\frac{11}{164} ; \frac{19}{71}-\frac{1}{4}=\frac{5}{284}\)
Vậy ta có: \(\frac{13}{41}=\frac{1}{4}+\frac{11}{164} ; \frac{19}{71}=\frac{1}{4}+\frac{5}{284}\)
Vì: \(\frac{5}{284}<\frac{11}{284}<\frac{11}{164} \text { nên } \frac{19}{71}<\frac{13}{41}\)
4. So sánh “phần thiếu” của hai phân số
Ta sử dụng phương pháp so sánh “phần thiếu” để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1
- Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu của mẫu số và tử số của hai phân số đều bằng nhau thì ta so sánh “phần thiếu” so với 1 của hai phân số đã cho
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{42}{43} \text { và } \frac{58}{59}\)
Cách giải
Ta có: \(1-\frac{42}{43}=\frac{1}{43} ; 1-\frac{58}{59}=\frac{1}{59}\)
Vì \(\frac{1}{43}>\frac{1}{59}\) nên \(\frac{42}{43}<\frac{58}{59}\)
Nhận xét: Nếu hai phân số có “phần bù” tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Trường hợp 2
Nhận thấy cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả hai phân số thì có thương bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{2}{5} \text { và } \frac{3}{7}\)
Cách giải
Lấy mẫu số chia cho tử số: \(5 : 2 = 2\) (dư 1); \(7 : 3 = 2\) (dư 1).
Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương (có \(\frac{1}{2}\) )
Thực hiện phép trừ: \(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10} ; \frac{1}{2}-\frac{3}{7}=\frac{1}{14}\)
Vậy ta có: \(\frac{2}{5}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10} ; \frac{3}{7}=\frac{1}{2}-\frac{1}{14}\)
Vì \(\frac{1}{10}>\frac{1}{14} \text { nên } \frac{2}{5}<\frac{3}{7}\)
5. Nhân thêm cùng một số vào hai phân số
Ta sử dụng phương pháp nhân thêm cùng một số vào hai phân số khi nhận thấy tử số của hai phân số đều bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta nhân cả hai phân số với cùng một số tự nhiên (là phần nguyên của thương) để đưa về dạng so sánh “phần bù” đến 1.
Ví dụ:So sánh hai phân số \(\frac{11}{52} \text { và } \frac{17}{76}\)
Cách giải
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 8 nên ta nhân cả hai phân số với 4.
Ta có:
\(\frac{11}{52} \times 4=\frac{44}{52} ; \frac{17}{76} \times 4=\frac{68}{76} .1-\frac{44}{52}=\frac{8}{52} ; 1-\frac{68}{76}=\frac{8}{76}\)
Vì \(\frac{8}{52}>\frac{8}{76}\) nên \(\frac{44}{52}<\frac{68}{76}\) hay \(\frac{11}{52}<\frac{17}{76}\)
6. Thực hiện “phép chia hai phân số”
Ta sử dụng phương pháp “chia hai phân số” khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{2}{23} \text { và } \frac{9}{41}\)
Cách giải
Ta có: \(\frac{2}{23}: \frac{9}{41}=\frac{2}{23} \times \frac{41}{9}=\frac{82}{207}\). Vì \(\frac{82}{207}<1\) nên \(\frac{2}{23}<\frac{9}{41}\)
7. Đảo ngược phân số để so sánh
Ta sử dụng phương pháp đảo ngược phân số khi nhận thấy cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì có thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta đảo ngược phân số để đưa về dạng so sánh “phần thừa”.
Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{21}{89} \text { và } \frac{2003}{8017}\)
Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 5.
Ta có: \(1: \frac{21}{89}=\frac{89}{21} ; 1: \frac{2003}{8017}=\frac{8017}{2003}\)
mà \(\frac{89}{21}=4+\frac{5}{21} ; \frac{8017}{2003}=4+\frac{5}{2003}\)
Vì \(\frac{5}{21}>\frac{5}{2003}\) nên \(\frac{89}{21}>\frac{8017}{2003}\)
Suy ra \(\frac{21}{89}<\frac{2003}{8017}\)
Tham khảo thêm: Khái niệm phân số
III Bài tập so sánh hai phân số
Bài 1: Không quy đồng mẫu số, tử số hãy so sánh hai phân số sau
\(\text { a) } \frac{4005}{4007} \text { và } \frac{1999}{1997}\)
\(\text { b) } \frac{25}{49} \text { và } \frac{35}{71}\)
\(\text { c) } \frac{1997}{2003} \text { và } \frac{1995}{2101} \text { ; }\)
\(\text { d) } \frac{2007}{2005} \text { và } \frac{2005}{2003}\)
\(\text { e) } \frac{13}{27} \text { và } \frac{7}{15}\)
Bài 2: Hãy so sánh hai phân số sau
a) \(\frac{7777772}{7777778} \text { và } \frac{88888881}{88888889}\)
b) \(\frac{1224364860}{1734516885} \text { và } \frac{1326395265}{1836547290}\)
Bài 3: Không quy đồng tử số hoặc mẫu số, hãy sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn
a) \(\frac{26}{15} ; \frac{215}{253} ; \frac{10}{10} ; \frac{26}{11} ; \frac{152}{253}\)
b) \(\frac{5}{6} ; \frac{1}{2} ; \frac{3}{4} ; \frac{2}{3} ; \frac{4}{5}\)
c) \(\frac{3}{2} ; \frac{5}{4} ; \frac{6}{5} ; \frac{7}{6} ; \frac{8}{7} ; \frac{9}{8} \text { và } \frac{10}{9}\)
d) \(\frac{15}{22} ; \frac{17}{26} ; \frac{19}{30} ; \frac{21}{34} ; \frac{23}{38} ; \frac{25}{42}\)
e) \(\frac{12}{13} ; \frac{34}{31} ; \frac{11}{14} ; \frac{33}{32} ; \frac{15}{15}\)
Bài 4: Hãy so sánh
a) \(A=\frac{2003}{2004}+\frac{2004}{2005}\) và \(B =\frac{2003+2004}{2004+2005}\)
b) \(C =\frac{432143214321}{999999999999}\) và \(D =\frac{1231+1231+1231+1231}{1997+19971997+199819982000}\)
c) \(E=\frac{2006}{987654321}+\frac{2007}{246813579}\) và \(G=\frac{2007}{987654321}+\frac{2006}{246813579}\)
Bài 5: Không tính ra kết quả, hãy so sánh:
a) \(A=\frac{1}{7}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\frac{1}{97}\) với \(\frac{1}{3}\)
b) \(B =\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}\) với \(\frac{1}{2}\)
c) \(C =\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+\frac{1}{24}+\ldots+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}\) với \(\frac{39}{40}\)
d) \(D =\frac{2006}{2007}+\frac{2007}{2008}+\frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2006}\) với 4
e) \(E=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{4048144}\) với 1
Trên đây là các phương pháp so sánh phân số đã được Đọc Tài Liệu biên soạn. Chúc bạn luôn học tốt và đạt những kết quả cao.