Tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao giúp bạn học tốt và đạt điểm cao với các bài toàn về đạo hàm.
I Bảng đạo hàm của hàm số biến x và u = f(x)
1. Bảng đạo hàm của hàm số biến x
Bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit cơ bản biến x.
| \(\left(x^{a}\right)^{\prime}=a \cdot x^{a-1}\) |
| \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) |
| \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) |
| \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) |
| \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-\left(1+\cot ^{2} x\right)\) |
| \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln \alpha}\) |
| \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) |
| \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln \alpha\) |
| \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) |
2. Bảng đạo hàm của hàm số biến u = f(x)
Bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit của một hàm số đa thức u = f(x).
| \(\left( u ^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{\prime} \cdot u^{\alpha-1}\) |
| \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\) |
| \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\) |
| \((\text { tan } u )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u \right)\) |
| \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u}{\sin ^{2} u}=- u ^{\prime}\left(1+\cot ^{2} x\right)\) |
| \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u}{u \cdot \ln \alpha}\) |
| \((\ln u )^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\) |
| \(\left(a^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln \alpha\) |
| \(\left( e ^{ u }\right)^{\prime}= u ^{\prime} \cdot e ^{ u }\) |
II Tổng hợp các công thức đạo hàm
1. Công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lý 1: Hàm số \(y=x^{n}(n \in N , n>1)\) có đạo hàm với mọi \(x \in R\) và : \(\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1}\)
Nhận xét:
\(( C )^{\prime}=0\)(với C là hằng số).
\((x)^{\prime}=1\)
Định lý 2: Hàm số \(y=\sqrt{x}\) có đạo hàm với mọi x dương và:\((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
Đạo hàm của phép toán tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lý 3: Giả sử \(u=u(x)\) và \( v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
\((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)
\((u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}\)
\((u . v)^{\prime}=u^{\prime} . v+u . v^{\prime}\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}},(v(x) \neq 0)\)
Mở rộng:
\(\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\right)^{\prime}=u_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}+\ldots+u_{n}^{\prime}\)
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’ = ku’.\)
Hệ quả 2: \(\left(\frac{1}{v}\right)^{\prime}=\frac{-v^{\prime}}{v^{2}},(v(x) \neq 0)\)
Đạo hàm của hàm hợp
Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u = u ( x )\) thì ta có: \(y_{u}^{\prime}=y_{u}^{\prime} \cdot u_{x}^{\prime}\)
Hệ quả:
\(\left(u^{n}\right)=n . u^{n-1} \cdot u^{\prime}, n \in N ^{*}\)
\((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)
2. Công thức đạo hàm logarit
- 1. \(\log _{a} x=\frac{1}{x \cdot \ln a}\)
- 2. \(\log _{a} u=\frac{u^{\prime}}{u . \ln a}\)
- 3. \(\ln x=\frac{1}{x}\)
- 4. \(l n u=\frac{u^{\prime}}{u}\)
3. Công thức đạo hàm lượng giác
\((\sin (x))^{\prime}=\cos (x)\)
\((\cos (x))^{\prime}=-\sin (x)\)
\((\tan (x))^{\prime}=\left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)}=\sec ^{2}(x)\)
\((\cot (x))^{\prime}=\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\right)^{\prime}=\frac{-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}=-\left(1+\cot ^{2}(x)\right)=-\csc ^{2}(x)\)
\((\sec (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x) \tan (x)\)
\((\csc (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin (x)}\right)^{\prime}=-\frac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)}=-\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}=-\csc (x) \cot (x)\)
\((\arcsin (x))^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
\((\arccos (x))^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
\((\arctan (x))^{\prime}=\frac{1}{x^{2}+1}\)
Tham khảo thêm: Công thức lượng giác đầy đủ nhất
4. Công thức đạo hàm cấp 2
Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x ∈ (a; b)\).
Khi đó \(y’ = f'(x) \)xác định một hàm sô trên \((a;b)\).
Nếu hàm số \(y’ = f'(x)\) có đạo hàm tại \(x\) thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\).
Kí hiệu: \(y”\) hoặc \(f”(x)\).
Ý nghĩa cơ học:
Đạo hàm cấp hai \(f”(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động S = f(t) tại thời điểm t.
5. Công thức đạo hàm cấp cao
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1\) kí hiệu \(f^{(n-1)}(x)(n \in N, n \geq 4)\)
Nếu \(f^{(n-1)}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp \(n\) của \(y=f(x), y^n\) hoặc \(f^{(n)}(x)\).
f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’
Công thức đạo hàm cấp cao:
\(\left(x^{m}\right)^{(n)}=m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) \cdot x^{m-n}\) (nếu \(m ≥ n\))
\(\left(x^{m}\right)^{(n)}=0\) (nếu \(m ≤ n\))
6. Công thức đạo hàm lepnit
Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì : \((u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}\)
Với \(C_{n}^{k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tứ:
\(C_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \ldots(n-k+1)}{k !}\)
III Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Hàm số bậc nhất/bậc nhất
\(f(x)=\frac{a x+b}{c x+d} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{a d-b c}{(c x+d)^{2}}\)
Hàm số bậc hai/bậc nhất
\(f(x)=\frac{a x^{2}+b x+c}{m x+n} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{a m x^{2}+2 a n x+b n-c m}{(m x+n)^{2}}\)
Hàm số đa thức bậc ba
\(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \Rightarrow f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c\)
Hàm số trùng phương
\(f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c \Rightarrow f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+2 b x\)
Hàm số chứa căn bậc hai
\(f(x)=\sqrt{u(x)} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)}{2 \sqrt{u(x)}}\)
Hàm số chứa trị tuyệt đối
\(f(x)=|u(x)| \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot u(x)}{|u(x)|}\)
Trên đây là toàn bộ các công thức đạo hàm cơ bản và nâng cao được chúng tôi tổng hợp và biên soạn. Mong rằng tài liệu này giúp bạn bổ sung lại các kiến thức và làm bài tốt, đạt điểm cao với các bài tập về đạo hàm.