Bài 4 trang 18 SGK hình học 12

Đề bài

Cho hình bát diện đều ABCDEF

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng AF , BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) ABFD , AEFC và BCDE là những hình vuông.

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Đáp án bài 4 trang 18 sgk hình học lớp 12

a) Do B,C,D,E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF ).

Tương tự, A,B,F,D đồng phẳng và A,C,F,E đồng phẳng

Gọi I là giao của ( AF ) với ( BCDE ) . Khi đó B, I, D là những điểm chung của hai mặt phẳng ( BCDE ) và ( ABFD ) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E , I , C thẳng hàng.

Vậy AF , BD , CE đồng quy tại I

Vì BCDE là hình thoi nên EC vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC , do đó các đoạn thẳng AF , BD , và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Ta có tứ giác DCDE là hình thoi.

Do A I vuông góc ( BCDE ) và AB = AC = AD = AE nên IB = IC = ID = IE.

Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự ABFD , AEFC là những hình vuông.

» Bài tham khảo: Bài 3 trang 18 sgk Hình học 12