Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng x - y + 2z - 1

Hai mặt phẳng $x - y + 2z - 1 = 0$ và $2x - z + 3 = 0$ có VTPT lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;2} \right),\,\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0; - 1} \right)$, Gọi $\overrightarrow {{u_d}} $ là một VTCP của $d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1;5;2} \right).$
Ta có $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}
qua\,\,d\\
\bot \left( {Oyz} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}} \\
\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;2; - 5} \right).$
Gọi $A$ là một điểm thuộc $d$ $ \Rightarrow $ tọa độ của $A$ thỏa mãn HPT $\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z - 1 = 0\\
2x - z + 3 = 0
\end{array} \right. . \,\, Chọn \,\, x=0 \,\, suy\,\, ra \,\, \left\{ \begin{array}{l}
z = 3\\
y = 5
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;5;3} \right)$
Phương trình $\left( P \right):0\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 5} \right) - 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2y - 5z + 5 = 0.$