Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD = 1, đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 2.

Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được hình trụ. 

Người ta dùng 2 hình chiếu để biểu diễn khối tròn xoay.

Đối với khối tròn xoay, người ta thường dùng hai hình chiếu để biểu diễn, một hình chiếu thể hiện mặt bên và chiều cao, một hình chiếu thể hiện hình dạng và đường kính mặt đáy.

Khi quay tam giác theo BC ta sẽ có được hai khối nón như hình vẽ.
Trong $\Delta ABC$, gọi H là chân đường cao của A đến BC. Ta có:
$\begin{array}{l}
BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10.\\
A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{36}}{{10}} = 3,6.\\

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần mặt phẳng được giới hạn như hình vẽ (tô màu) quanh trục Ox là
$V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\left( {\sqrt {\tan x} } \right)}^2}dx} = \pi \int_0^{\frac{\pi }{6}} {{\mathop{\rm tanx}\nolimits} } dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = \left. { - \pi \ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = - \pi \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = a{x^2}$ và đồ thị hàm số $y = - bx$ là nghiệm của phương trình
$\begin{array}{l}
a{x^2} = - bx\\
\Leftrightarrow a{x^2} + bx = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {ax + b} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

Phương trình hoành độ giao điểm là $\sqrt x = - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- x \ge 0\\
x = - {x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
${V_{Ox}} = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - x} \right|dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + x} \right)dx + } } \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} = \left. {\pi \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3 = \frac{\pi }{6} + \frac{{14\pi }}{3} = \frac{{29\pi }}{6}.$

Khi quay hình vuông ABCD quanh AB sinh ra mặt trụ có thể tích ${V_1} = \pi {a^3}$.
Hình thang AMCB sinh ra hình nón cụt có thể tích ${V_2} = \left( {\frac{1}{3}\pi {a^2}.SB} \right) - \left( {\frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^2}}}{4}.SA} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( {2{a^3} - \frac{{{a^3}}}{4}} \right) = \frac{{7\pi {a^3}}}{{12}}$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là:
$V = \pi \int\limits_0^{\pi /4} {{y^2}dx} = \pi \int\limits_0^{\pi /4} {\cos xdx} = \left. {\pi \left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)} \right|_0^{\pi /4} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{2}.$