Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = 2a. Góc giữa

Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, kẻ $HM,\,\,\,HN$ lần lượt vuông góc với $AB,\,\,\,BC.$
Ta có $\widehat {SMH} = {60^o},\,\,\,\widehat {SNH} = {45^o}.$
Đặt $SH = x.$
Trong tam giác vuông $SHM$ : $SH = SM.\sin {60^o} \Rightarrow SM = \frac{{SH}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}.$
Trong tam giác vuông $SHN$ : $HN = SH.\cot {45^o} = SH = x.$ Suy ra $AM = AB - MB = AB - HM = 2a - x.$
Trong tam giác vuông $SMA$ :
$\begin{array}{l} S{A^2} = S{M^2} + A{M^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{4{x^2}}}{3} + 4{a^2} - 4ax + {x^2}\\ \Leftrightarrow \frac{7}{3}{x^2} - 4ax = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{12a}}{7}. \end{array}$
Vậy thể tích hình chóp $S.ABCD$ là: $V = \frac{1}{3}{\left( {2a} \right)^2}.\frac{{12a}}{7} = \frac{{16{a^3}}}{7}\left( {dvtt} \right).$