Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết tứ giác nội tiếp cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết tứ giác nội tiếp
a. Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Ví dụ: Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp \(\left( O \right)\) và \(\left( O \right)\) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Hình 1
Định lý
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^\circ .
- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^\circ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Ví dụ: Trong hình 1, tứ giác nội tiếp ABCD có \( \widehat A + \widehat C = 180^\circ ;\widehat B + \widehat D = 180^\circ .\)
b. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) .
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \(\alpha\) .
Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
II. Các dạng toán thường gặp về tứ giác nội tiếp
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp:
Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau :
Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) .
Cách 2. Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \(\alpha\) .
Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
Cách 4. Tìm được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác.
Dạng 2: Chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, hệ thức giữa các cạnh…
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.
III. Bài tập về tứ giác nội tiếp
Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D. Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
S là điểm chính giữa của cung \(\overparen{AB}\).
\( \Rightarrow \overparen{SA} = \overparen{SB} \)
\(\widehat {DEB} = \displaystyle {1 \over 2}(sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{AS}) \)(tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (2)
\(\widehat {DCS} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{DAS}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DA} + sđ \overparen{SA})\) (3)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {DEB} + \widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{AS} + sđ \overparen{DA} + sđ \overparen{SA})\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra: \(\widehat {DEB} + \widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{BS} + sđ \overparen{SA} + sđ \overparen{DA}) = \displaystyle {{360^\circ } \over 2} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {DEH} + \widehat {DCH} = 180^\circ \)
Vậy: tứ giác EHCD nội tiếp được trong một đường tròn.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong Toán hình 9 chương 3 bài 7 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
**************
Trên đây là tổng hợp lý thuyết tứ giác nội tiếp và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!