Hướng dẫn trả lời câu hỏi và giải bài tập Toán 8 Cánh Diều tập 1 giúp học sinh nắm được các cách giải bài tập Chương 1: Đa thức nhiều biến chuẩn bị bài trước khi tới lớp và luyện tập giải toán tại nhà.
Bài 1 Chương 1 Toán 8 tập 1 Cánh Diều
Câu hỏi mở đầu trang 5:
Trong giờ học Mĩ thuật, bạn Hạnh dán lên trang vở hai hình vuông và một tam giác vuông có độ dài hai cạnh hình vuông và một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là x (cm), y (cm) như Hình 1.
Tổng diện tích của hai hình vuông và tam giác vuông là: \(x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}xy (cm^2)\)
Biểu thức đại số \(x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}xy\) còn được gọi là gì?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta giải quyết bài toán này như sau:
Biểu thức đại số \(x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2}xy\) còn được gọi đa thức nhiều biến.
I. Đơn thức nhiều biến
Hoạt động 1 trang 5:
a) Viết biểu thức biểu thị:
- Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm);
- Diện tích của hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm);
- Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm).
b) Cho biết mỗi biểu thức trên gồm những số, biến và phép tính nào.
Lời giải:
a) Biểu thức biểu thị:
- Hình vuông có độ dài cạnh là x (cm) thì diện tích hình vuông đó là: \(x^2 (cm^2)\).
- Hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm) thì diện tích hình chữ nhật đó là: 2x . 3y = (2 . 3) ( x . y) = \(6xy (cm^2)\).
- Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:
x . 2y . 3z = (2 . 3) (x . y . z) = 6xyz \((cm^3)\).
b) - Biểu thức x^2 gồm phần số là 1, phần biến là \(x^2\) và phép tính là phép nâng lên lũy thừa.
- Biểu thức 6xy gồm phần số là 6, phần biến là xy và phép tính là phép nhân.
- Biểu thức 6xyz gồm phần số là 6, phần biến là xyz và phép tính là phép nhân.
Luyện tập 1 trang 6: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
\(5y; y+3z; \dfrac{1}{3}x^3y^2x^2z\)
Lời giải:
- 5y là đơn thức;
- y + 3z không phải là đơn thức;
- \(\dfrac{1}{3}x^3y^2x^2z\) là đơn thức.
Vậy những biểu thức 5y; \(\dfrac{1}{3}x^3y^2x^2z\) là đơn thức.
Hoạt động 2 trang 6: Xét đơn thức \(2x^3y^4\)
Lời giải:
Trong đơn thức \(2x^3y^4\)
- Biến x được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 3.
- Biến y được viết một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương là 4.
Luyện tập 2 trang 6: Thu gọn mỗi đơn thức sau:
\(y^3y^2z; \dfrac{1}{3}xy^2x^3z\)
Lời giải:
Thu gọn các đơn thức đã cho, ta được:
- \(y^3y^2z = y^5z\);
- \(\dfrac{1}{3}xy^2x^3z = \dfrac{1}{3}(x.x^3)y^2z = \dfrac{1}{3}x^5y^2z\)
Luyện tập 2 trang 6: Thu gọn mỗi đơn thức sau:
\(y^3y^2z; \dfrac{1}{3}xy^2x^3z\)
Lời giải:
Thu gọn các đơn thức đã cho, ta được:
- \(y^3y^2z = y^5z\);
- \(\dfrac{1}{3}xy^2x^3z = \dfrac{1}{3}(x.x^3)y^2.z = \dfrac{1}{3}x^5y^2z\)
Hoạt động 3 trang 7: Cho hai đơn thức: \(2x^3y^4\) và \(−3x^3y^4\).
a) Nêu hệ số của mỗi đơn thức trên.
b) So sánh phần biến của hai đơn thức trên.
Lời giải:
a) Đơn thức \(2x^3y^4\) có hệ số là 2; đơn thức \(−3x^3y^4\) có hệ số là −3.
b) Đơn thức \(2x^3y^4\) có phần biến là \(x^3y^4\); đơn thức \(−3x^3y^4\) có hệ số là \(x^3y^4\).
Phần biến của hai đơn thức đã cho là như nhau.
Luyện tập 3 trang 7: Các đơn thức trong mỗi trường hợp sau có đồng dạng hay không? Vì sao?
a) \(x^2y^4; −3x^2y^4\) và \(\sqrt{5}x^2y^4\)
b) \(−x^2y^2z^2\) và \(−2x^2y^2z^3\).
Lời giải:
a) Các đơn thức \(x^2y^4; −3x^2y^4\) và \(\sqrt{5}x^2y^4\) có cùng phần biến là \(x^2y^4\).
Do đó, các đơn thức \(x^2y^4\); \(−3x^2y^4\) và \(\sqrt{5}x^2y^4\) đồng dạng.
b) Đơn thức \(−x^2y^2z^2\) có phần biến là \(x^2y^2z^2\) và đơn thức \(−2x^2y^2z^3\) có phần biến là \(x^2y^2z^3\).
Vì hai đơn thức \(−x^2y^2z^2\) và \(−2x^2y^2z^3\) có phần biến khác nhau nên hai đơn thức này không đồng dạng.
Hoạt động 4 trang 7:
a) Tính tổng: \(5x^3 + 8x^3\).
b) Tính hiệu: \(10y^7 − 15y^7\).
Lời giải:
a) Ta có: \(5x^3 + 8x^3 = (5 + 8)x^3 = 13x^3\);
b) Ta có: \(10y^7 − 15y^7 = (10 – 15)y^7 = −5y^7\).
Luyện tập 4 trang 8: Thực hiện phép tính:
a) \(4x^4y^6 + 2x^4y^6\);
b) \(3x^3y^5 – 5x^3y^5\).
Lời giải:
a) \(4x^4y^6 + 2x^4y^6 = (4 + 2)x^4y^6 = 6x^4y^6\);
b) \(3x^3y^5 – 5x^3y^5 = (2 – 5)x^3y^5 = – 3x^3y^5\).
II. Đa thức nhiều biến
Hoạt động 5 trang 8: Cho biểu thức \(x^2 + 2xy + y^2\).
a) Biểu thức trên có bao nhiêu biến?
b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như thế nào?
Lời giải:
a) Biểu thức \(x^2 + 2xy + y^2\) có hai biến x, y.
b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức là các đơn thức (lũy thừa, tích giữa số và các biến).
Luyện tập 5 trang 8: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
\(y + 3z + \dfrac{1}{2}y^2z; \dfrac{x^2+y^2}{x+y}\)
Lời giải:
Biểu thức \(y + 3z + \dfrac{1}{2}y^2z\) là đa thức, còn biểu thức \(\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\) không phải là đa thức.
Hoạt động 6 trang 9: Cho đa thức: \(P = x^3 + 2x^2y + x^2y + 3xy^2 + y^3\).
Thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng sao cho trong đa thức P không còn hai đơn thức nào đồng dạng.
Lời giải:
Ta có \(P = x^3 + 2x^2y + x^2y + 3xy^2 + y^3\)
\(= x^3 + (2x^2y + x^2y) + 3xy^2 + y^3\)
\(= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\)
Luyện tập 6 trang 9: Thu gọn đa thức:
\(R = x^3 – 2x^2y – x^2y + 3xy^2 – y^3.\)
Lời giải:
Ta có \(R = x^3 – 2x^2y – x^2y + 3xy^2 – y^3\)
\(= x^3 – (2x^2y + x^2y) + 3xy^2 – y^3\)
\(= x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3.\)
Luyện tập 7 trang 9: Tính giá trị của đa thức
\(Q = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 tại x = 2; y = 1.\)
Lời giải:
Giá trị của đa thức Q tại x = 2; y = 1 là:
\(Q = 2^3 – 3 . 2^2 . 1 + 3. 2 . 1^2 – 1^3\)
= 8 – 3 . 4 + 3. 2 – 1
= 8 – 12 + 6 – 1
= – 4 + 5 = 1.
Hoạt động 7 trang 9: Cho đa thức: \(P = x^2 – y^2\). Đa thức P được xác định bằng biểu thức nào? Tính giá trị của P tại x = 1; y = 1.
Lời giải:
Đa thức P được xác định bằng biểu thức \(x^2 – y^2\).
Giá trị của P tại x = 1; y = 1 là:
\(1^2 – 1^2\) = 1 – 1 = 0.
Bài tập
Bài 1 trang 9:
a) Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
\(\dfrac{1}{5}xy^2z^3; 3 - 2x^3y^2z; -\dfrac{3}{2}x^4yxz^2; \dfrac{1}{2}x^2(y^3 - z^3)\)
b) Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
\(2-x+y; -5x^2yz^3 + \dfrac{1}{3}xy^2z + x + 1; \dfrac{x-y}{xy^2}; \dfrac{1}{x}+2y-3z\)
Lời giải:
a) \(\dfrac{1}{5}xy^2z^3\) là đơn thức;
\(3 - 2x^3y^2z\) không phải là đơn thức;
\(-\dfrac{3}{2}x^4yxz^2\) là đơn thức;
\(\dfrac{1}{2}x^2(y^3 - z^3)\) không phải là đơn thức.
Vậy các biểu thức \(\dfrac{1}{5}xy^2z^3; -\dfrac{3}{2}x^4yxz^2\) là đơn thức.
b) 2 – x + y là đa thức;
\(-5x^2yz^3 + \dfrac{1}{3}xy^2z + x + 1\) là đa thức;
\(\dfrac{x-y}{xy^2}\) không là đa thức;
\(\dfrac{1}{x}+2y-3z\) không là đa thức.
Vậy các biểu thức \(2 - x + y; -5x^2yz^3 + \dfrac{1}{3}xy^2z + x + 1\) là đa thức.
Bài 2 trang 10: Thu gọn mỗi đơn thức sau:
a) \(-\dfrac{1}{2}x^2yxy^3\);
b) \(0,5x2yzxy3\).
Lời giải:
Thu gọn mỗi đơn thức, ta được:
a) \(-\dfrac{1}{2}x^2yxy^3 = -\dfrac{1}{2}(x^2.x)(y.y^3) = -\dfrac{1}{2}x^3y^4\);
b) \( 0,5x2yzxy3 = 0,5(x2 . x) (y . y3) z = 0,5x3y4z\).
Bài 3 trang 10: Các đơn thức trong mỗi trường hợp sau có đồng dạng hay không? Vì sao?
a) \(x^3y^5; -\dfrac{1}{6}x^3y^5 và \sqrt{3}x^3y^5\);
b) \(x^2y^3 \,và \,x^2y^7\).
Lời giải:
a) Các đơn thức \(x^3y^5; -\dfrac{1}{6}x^3y^5\) và \(\sqrt{3}x^3y^5\) đều có phần biến là \(x^3y^5\).
Do đó, các đơn thức \(x^3y^5; -\dfrac{1}{6}x^3y^5\) và \(\sqrt{3}x^3y^5\) đồng dạng.
b) Đơn thức \(x^2y^3\) có phần biến \(x^2y^3\) và đơn thức \(x^2y^7\) có phần biến \(x^2y^7\).
Do đó, các đơn thức \(x^2y^3\) và \(x^2y^7\) không đồng dạng.
Bài 4 trang 10: Thực hiện phép tính:
a) \(9x^3y^6 + 4x^3y^6 + 7x^3y^6\);
b) \(9x^5y^6 – 14x^5y^6 + 5x^5y^6\).
Lời giải:
a) \(9x^3y^6 + 4x^3y^6 + 7x^3y^6 = (9 + 4 + 7)x^3y^6 = 20x^3y^6\);
b) \(9x^5y^6 – 14x^5y^6 + 5x^5y^6 = (9 – 14 + 5)x^5y^6 = 0\).
Bài 5 trang 10: Thu gọn mỗi đa thức sau:
a) \(A = 13x^2y + 4 + 8xy – 6x^2y – 9\);
b) \(B = 4,4x^2y – 40,6xy^2 + 3,6xy^2 – 1,4x^2y – 26\).
Lời giải:
Thu gọn mỗi đa thức, ta được:
a) \(A = 13x^2y + 4 + 8xy – 6x^2y – 9\)
\(= (13x^2y – 6x^2y) + 8xy + (4 – 9)\)
\(= 7x^2y + 8xy – 5\)
b) \(B = 4,4x^2y – 40,6xy^2 + 3,6xy^2 – 1,4x^2y – 26\)
\(= (4,4x^2y – 1,4x^2y) – (40,6xy^2 – 3,6xy^2) – 26\)
\(= 3x^2y – 37xy^2 – 26\).
Bài 6 trang 10: Tính giá trị của đa thức \(P = x^3y – 14y^3 – 6xy^2 + y + 2 \, tại \, x = –1; y = 2\).
Lời giải:
Giá trị của đa thức \(P = x^3y – 14y^3 – 6xy^2 + y + 2 \, tại \, x = –1; y = 2\) là:
\((–1)^3 . 2 – 14 . 2^3 – 6. (–1) . 2^2 + 2 + 2\)
= (–1) . 2 – 14 . 8 – 6. (–1) . 4 + 2 + 2
= –2 – 112 + 24 + 2 + 2 = –86.
Bài 7 trang 10:
a) Viết đa thức S biểu thị tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm).
b) Tính giá trị của S tại x = 6; y = 2; z = 3.
Lời giải:
a) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm). Khi đó:
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:
(x + 2y) . 3z = 3xz + 6yz (\(cm^2\)).
Diện tích hai đáy của hình hộp chữ nhật đó là:
2 . x . 2y = 4xy (\(cm^2\)).
Tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật là:
4xy + 3xz + 6yz (\(cm^2\)).
Vậy đa thức S biểu thị tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đã cho là:
S = 4xy + 3xz + 6yz (\(cm^2\)).
b) Giá trị của S tại x = 6; y = 2; z = 3 là:
4 . 6 . 2 + 3 . 6 . 3 + 6 . 2 . 3 = 48 + 54 + 36 = 138.
-//-
Hy vọng với nội dung trả lời chi tiết câu hỏi trong Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến giúp học sinh nắm được nội dung bài học và ghi nhớ những nội dung chính, quan trọng trong chương trình học Toán học 8.