Hướng dẫn trả lời câu hỏi và giải bài tập Toán 8 Cánh Diều tập 1 giúp học sinh nắm được các cách giải bài tập Chương 5: Tam giác. Tứ giác chuẩn bị bài trước khi tới lớp và luyện tập giải toán tại nhà.
Chương 5 Bài 1: Định lí Pythagore
Khởi động trang 94 Toán 8 Tập 1: Quan sát Hình 1, bạn Đan khẳng định rằng: Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.
Bạn Đan đã dựa vào kiến thức nào để đưa ra khẳng định trên?
Lời giải:
Bạn Đan đã dựa vào Định lí Pythagore để đưa ra khẳng định “Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại”.
Thật vậy, giả sử A, B, C là ba đỉnh của tam giác (vuông tại A) và độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là a, b, c (hình vẽ).
Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh lá cây là: a2 (đơn vị diện tích).
Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh nước biển là: b2 (đơn vị diện tích).
Diện tích hình vuông lớn màu tím là: c2 (đơn vị diện tích).
Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có BC2 = AB2 + AC2
Hay c2 = a2 + b2.
Vậy diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.
I. Định lí Pythagore
Hoạt động 1 trang 94, 95 Toán 8 Tập 1:
a) Vẽ và cắt giấy để có 4 hình tam giác vuông như nhau với độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c, trong đó a, b, c có cùng đơn vị độ dài (Hình 2).
b) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh là b + c như Hình 3. Đặt 4 hình tam giác vuông đã cắt ở câu a lên hình vuông ABCD vừa vẽ, phần chưa bị che đi là hình vuông MNPQ với độ dài cạnh là a (Hình 4).
c) Gọi S1 là diện tích của hình vuông ABCD. Gọi S2 là tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ. So sánh S1 và S2.
d) Dựa vào kết quả ở câu c, dự đoán mối liên hệ giữa \(a^2\) và \(b^2+c^2\).
Lời giải:
a) Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.
b) Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.
c) Diện tích của hình vuông ABCD là: \(S_1=(b+c)^2\) (đơn vị diện tích).
Diện tích của hình vuông MNPQ là: \(a^2\) (đơn vị diện tích).
Diện tích của tam giác vuông AQM là: \(\dfrac{1}{2}bc\) (đơn vị diện tích).
Tổng diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ là: \(4.\dfrac{1}{2}bc = 2bc\) (đơn vị diện tích).
Khi đó ta có: \(S_2 = a^2 +2bc\) (đơn vị diện tích).
d) Theo câu b, ta có: diện tích của hình vuông ABCD bằng tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ, hay S1 = S2
Do đó \((b + c)^2 = a^2 + 2bc\)
Hay \(b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + 2bc\)
Suy ra \(b^2 + c^2 = a^2\).
Vậy \(a^2 = b^2 + c^2\).
Luyện tập 1 trang 95 Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là a.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí Pythagore ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\)
Suy ra \(AC = \sqrt{2a^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2.a^2} = \sqrt{(\sqrt{2}.a)^2} = a.\sqrt{2}\)
Vậy độ dài đường chéo của hình vuông đó là \(a.\sqrt{2}\)
II. Định lí Pythagore đảo
Hoạt động 2 trang 95 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các hoạt động sau:
a) Vẽ một tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm;
b) Tính và so sánh diện tích của hình vuông có cạnh BC với tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC (Hình 6);
c) Kiểm tra xem góc A của tam giác ABC có phải là góc vuông hay không.
Lời giải:
a) Vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm.
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AC = 4 cm.
Bước 2. Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm.
Bước 3. Vẽ cung tròn tâm C bán kính 5 cm.
Bước 4. Hai cung tròn trên cắt nhau tại hai điểm. Lấy 1 trong 2 giao điểm đó, kí hiệu là điểm B.
Nối các đoạn thẳng BA, BC ta được tam giác ABC như yêu cầu.
b) Diện tích của hình vuông có cạnh AB = 3 cm là: \(3^2 = 9 (cm^2)\).
Diện tích của hình vuông có cạnh AC = 4 cm là: \(4^2 = 16 (cm^2)\).
Tổng diện tích của hai hình vuông trên là: 9 + 16 = 25 (\(cm^2\)).
Diện tích của hình vuông có cạnh BC = 5 cm là: \(5^2 = 25 (cm^2)\).
Vậy diện tích của hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC.
c) Dùng thước êke (hoặc thước đo góc) ta xác định được góc A của tam giác ABC là góc vuông.
Luyện tập 2 trang 96 Toán 8 Tập 1: Tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm có phải là tam giác vuông hay không?
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC có AB = 20 cm, AC = 21 cm và BC = 29 cm.
Xét tam giác ABC có:
\(AB^2 + AC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 (cm^2)\) và \(BC^2 = 29^2 = 841 (cm^2)\).
Suy ra \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).
Vậy tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm là tam giác vuông.
Bài tập
Bài 1 trang 96 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm độ dài cạnh còn lại trong mỗi trường hợp sau:
a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;
b) AB = 20 cm, AC = 21 cm;
c) AB = AC = 6 cm.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (1)
a) Từ (1) suy ra \(AC^2 = BC^2 – AB^2 = 17^2 – 8^2 = 289 – 64 = 225 = 15^2\)
Do đó AC = 15 (cm).
b) Từ (1) suy ra \(BC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2\)
Do đó BC = 29 (cm).
c) Từ (1) suy ra \(BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\)
Do đó \(BC = \sqrt{72} = \sqrt{36.2} = \sqrt{6^2.(\sqrt{2})^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}\)
Bài 2 trang 96 Toán 8 Tập 1: Tìm giác có độ dài ba cạnh trong mỗi trường hợp sau có phải là tam giác vuông hay không?
a) 12 cm, 35 cm, 37 cm;
b) 10 cm, 7 cm, 8 cm;
c) 11 cm, 6 cm, 7 cm.
Lời giải:
a) Ta có: \(12^2 + 35^2 = 144 + 1 225 = 1 369\) và \(37^2 = 1 369\).
Suy ra \(12^2 + 35^2 = 37^2\)
Do đó theo định lí Pythagore đảo, tam giác có độ dài ba cạnh 12 cm, 35 cm, 37 cm là tam giác vuông.
b) Ta có: \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\) và \(10^2 = 100\).
Suy ra \(7^2 + 8^2 ≠ 102\).
Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm không phải là tam giác vuông.
c) Ta có: \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\) và \(11^2 = 121\).
Suy ra \(6^2 + 7^2 ≠ 11^2\).
Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 11 cm, 6 cm, 7 cm không phải là tam giác vuông.
Bài 3 trang 97 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng 1 dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.
Lời giải:
Do tam giác đã cho là tam giác vuông cân nên độ dài hai cạnh góc vuông cùng bằng 1 dm
Khi đó theo định lí Pythagore, độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đó là:
\(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\) (dm)
Bài 4 trang 97 Toán 8 Tập 1: Cho một tam giác đều cạnh a.
a) Tính độ dài đường cao của tam giác đó theo a.
b) Tính diện tích của tam giác đó theo a.
Lời giải:
Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a.
Bài 5 trang 97 Toán 8 Tập 1: Hình 9 mô tả một thanh gỗ dài 3,5 m dựa vào một bức tường thẳng đứng. Chân thanh gỗ cách mép tường một khoảng là 2,1 m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là bao nhiêu mét?
Lời giải:
Do bức tường vuông góc với mặt đất nên thanh gỗ dựa vào tường tạo thành một tam giác vuông ABC được mô tả như hình vẽ dưới đây.
Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Suy ra \(BC^2 = AB^2 – AC^2 = 3,5^2 – 2,1^2 = 12,25 – 4,41 = 7,84 = 2,8^2\)
Do đó BC = 2,8 m.
Vậy khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là 2,8 mét.
Bài 6 trang 97 Toán 8 Tập 1:
Lời giải:
Mặt cắt đứng của sân khấu ngoài trời có mái che ở Hình 10 được mô tả như hình vẽ dưới đây.
Ta có: AB = BH – AH = BH – CK = 7 – 6 = 1 (m).
Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26.\)
Suy ra \(BC = \sqrt{26} = 5,099019514...≈ 5,10 (m)\).
Vậy chiều dài của mái che sân khấu đó khoảng 5,10 mét.
-//-
Hy vọng với nội dung trả lời chi tiết câu hỏi trong Bài 1: Định lí Pythagore giúp học sinh nắm được nội dung bài học và ghi nhớ những nội dung chính, quan trọng trong chương trình học Toán học 8.