Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Đáp án bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2 được biên soạn bởi Đọc Tài Liệu nhằm mục đích tham khảo phương pháp làm bài. Tài liệu cũng giúp các bạn ôn tập nội dung kiến thức trong Toán 9 chương 4 phần hình học về Hình cầu, diện tích hình cầu và thể tích hình cầu.

Đề bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\)  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a) Chứng minh rằng \(MON\)  và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\)

c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\dfrac{R}{2}.\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

» Bài tập trước: Bài 36 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Hướng dẫn cách làm

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Đáp án chi tiết

Dưới đây là các cách giải bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:

a) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) nên \(OM\) là phân giác \(\widehat {AOP} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\) (1)

Tương tự ta có \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(ON\) là phân giác \(\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2) và

\(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

+ Lại có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác \(OPNB\) có \(\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OPNB\)  là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat {PBO} = \widehat {PNO}\)  (cùng nhìn cạnh \(PO\))

Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta APB\) có \(\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có  \(MA,MP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(M\) và \(NB,NP\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(N\) nên \(MA = MP;NP = NB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác \(MON\) vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\)  (do \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(O{P^2} = MP.PN\)

Mà \(MA = MP;NP = NB\) (cmt) và \(OP = R\) nên \(O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN\) (đpcm)

c) Vì \(AM = \dfrac{R}{2}\) mà \(AM.BN = {R^2}\) (câu b) nên \(BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R\)

Suy ra \(MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.\)

Vì \(\Delta MON \sim \Delta APB\) (câu a) nên tỉ số đồng dạng là \(k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Suy ra tỉ số diện tích \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}\)  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay sinh ra hình cầu bán kính \(R\) nên thể tích hình cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

» Bài tiếp theo: Bài 38 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Trên đây là hướng dẫn cách làm và đáp án bài 37 trang 126 Toán hình học 9 tập 2. Các em cũng có thể tham khảo thêm các bài tập tại chuyên mục giải Toán 9 của doctailieu.com.