Bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Lời giải bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1 được chia sẻ với mục đích tham khảo cách làm và so sánh đáp án. Cùng với đó góp phần giúp bạn ôn tập lại các kiến thức Toán 9 chương 1 phần hình học để tự tin hoàn thành tốt các bài tập về hai tiếp tuyến cắt nhau.

Đề bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB\) (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi \(Ax,\ By\) là các tia vuông góc với \(AB\) (\(Ax,\ By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\)). Qua điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn (\(M\) khác \(A\) và \(B\)), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt \(Ax\) và \(By\) theo thứ tự ở \(C\) và \(D\).

Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {CO{\rm{D}}} = {90^0}\)

b) \(CD=AC+BD\)

c) Tích \(AC.BD\) không đổi khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn.

» Bài tập trước: Bài 29 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Giải bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Hướng dẫn cách làm

+) Sử dụng tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau: \(AB,\ AC\) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A,\ B\) thì

1) \(AB=AC\);

2) \(OA\) là tia phân giác của góc \(\widehat{BOC}\).

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại  \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó \(AH^2=HB.HC\)

Đáp án chi tiết

Dưới đây là các cách giải bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:

Ta có:

\(OA\perp AC\)

\(OB\perp BD\)

Suy ra \(Ax,\ By\) là các tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại \(A,\ B\).

Vì \(CA,\ CM\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) lần lượt tại \(A\) và \(M\), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(CM =CA\) và \(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)

Lập luận tương tự, ta cũng có: \(DM=DB\) và \(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\)

a) Ta có:

\(\eqalign{ & \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = {180^o} \cr & \Leftrightarrow \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_3}} = {180^o} \cr & \Leftrightarrow \left( {\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_2}}} \right) + \left( {\widehat {{O_3}} + \widehat {{O_3}}} \right) = {180^o} \cr & \Leftrightarrow 2\widehat {{O_2}} + 2\widehat {{O_3}} = {180^o} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}}} \right) = {180^o} \cr & \Leftrightarrow \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = {90^o} \cr & \Leftrightarrow \widehat {COD} = {90^o} \cr} \)

b) Ta có: \(CM=AC,\ MD=BD\) (chứng minh trên)

Lại có: \(CD=CM+MD=AC+BD\)

c) Xét tam giác \(COD\) vuông tại \(O\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(MO^2=MC.MD=AC.BD=R^2\)

Vì bán kính đường tròn không đổi khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn nên \(MO^2\) không đổi do đó tích \(AC.BD\) không đổi khi \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn.

» Bài tiếp theo: Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Nội dung trên đã giúp bạn nắm được cách làm và đáp án bài 30 trang 116 SGK Toán 9 tập 1. Mong rằng những bài hướng dẫn giải Toán 9 của Đọc Tài Liệu sẽ là người đồng hành giúp các bạn học tốt môn học này.