Bố mẹ hãy cùng Đọc tài liệu tìm hiểu lần lượt mối quan hệ giữa các phép tính cộng trừ nhân chia các số tự nhiên và một số dạng bài tập có thể ra trong chương trình học Toán lớp 4 để dạy con tại nhà tốt nhất:
Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính cộng, trừ, nhân, chia
I. Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính cộng
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + (b + n) = a + b
5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó.
8. Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 - ) số hạng bị giảm đi đó.
9. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
10. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn.
11. Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
12. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
13. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
II. Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính trừ
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
3. Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ. (n > 1).
4. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần số trừ. (n > 1).
5. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
6. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
III. Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính nhân
1. a x b = b x a
2. a x (b x c) = (a x b) x c
3. a x 0 = 0 x a = 0
4. a x 1 = 1 x a = a
5. a x (b + c) = a x b + a x c
6. a x (b - c) = a x b - a x c
7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần.
Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0)10.
10. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.
11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
13. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5.
IV. Mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính chia
1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại.
7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi.
8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần.
Bài tập vận dụng mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính
Với những kiến thức về các mối quan hệ giữa các phép tính cộng trừ nhân chia các số tự nhiên trong chương trình Toán học 4, bố mẹ có thể hướng dẫn các con cách làm các dạng toán cơ bản sau:
Dạng 1: Tìm thương mới khi số chia hay số bị chia tăng hoặc giảm n lần.
(Bài toán cơ bản trong sách giáo khoa. )
Bài 1. Hai số có thương bằng 216. Nếu giữ nguyên số bị chia và tăng số chia lên 6 lần thì thương mới của hai số bằng bao nhiêu?
Giải thích: Khi số chia tăng lên 6 lần tức là thương sẽ giảm đi 6 lần ta thực hiện phép chia lấy thương chia cho 6.
Ta có 216 : 6 = 36.
Vậy thương mới là 36.
Bài 2. Hai số có thương bằng 315. Nếu giữ nguyên số bị chia và tăng số chia lên 5 lần thì thương bằng bao nhiêu ?
Giải thích: Khi tăng số chia lên 5 lần tức là thương sẽ giảm đi 5 lần ta thực hiện phép chia lấy thương chia cho 5.
Ta có 315 : 5 = 63.
Vậy thương mới là 63.
Bài 3. Hai số có thương bằng 36. Hỏi nếu giữ nguyên số chia và tăng số bị chia lên 3 lần thì thương mới bằng bao nhiêu?
Giải thích: Khi số bị chia tăng lên 3 lần tức là thương sẽ giảm đi 3 lần ta thực hiện phép nhân lấy thương nhân với 3.
Ta có 36 x 3 = 108.
Vậy thương mới là 108.
Bài 4. Hai số có thương bằng 108 . Nếu giữ nguyên số bị chia và tăng số chia lên 2 lần thì thương mới bằng bao nhiêu?
Giải thích: Khi số chia tăng lên 2 lần tức là thương sẽ giảm đi 2 lần ta thực hiện phép chia lấy thương chia cho 2.
Ta có 108 : 2 = 54.
Vậy thương mới là 54.
Dạng 2. Vận dụng mối quan hệ để tìm thành phần của phép tính
Đối với dạng bài tập này thì các em cần khai thác từng sự thay đổi mà đề bài yêu cầu sau đó mới áp dụng mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên để thực hiện.
Bài 1.
a) Hai số có hiệu là 4275. Nếu thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị và bớt ở số trừ 2148 đơn vị thì được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
b) Hai số có hiệu là 5729. Nếu thêm vào số trừ 2418 đơn vị và bớt ở số bị trừ 1926 đơn vị thì được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
Lời giải:
a) Ở đây bài toán có 2 sự thay đổi về thành phần phép toán. Ta khai thác lần lượt từng sự thay đổi để tránh nhầm lẫn
Lần 1: Thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị → Hiệu tăng 1027 đơn vị
Lần 2: Bớt đi số trừ 2148 đơn vị → Hiệu tăng tiếp 2148 đơn vị
Như vậy, sau 2 lần thay đổi thì hiệu cũng có 2 lần tăng
Hiệu mới là: 4275 + 1027 + 2148 = 7450
b) Tương tự như ở câu a, ta thấy
Lần 1: Bớt số trừ 2148 đơn vị → Hiệu tăng 2148 đơn vị
Lần 2: Bớt số bị trừ 1926 đơn vị → Hiệu giảm 1926 đơn vị
Hiệu mới là: 5729 + 2148 - 1926 = 5951
Bài 2.
a) Tìm hai số biết số lớn gấp 8 lần số bé và số bé gấp 6 lần thương.
b)Tìm hai số biết số thương bằng 1/7 số lớn và số lớn gấp 6 lần số bé.
Lời giải:
a) Ta cần phân tích được, ở đây Số lớn và số bé có vai trò là Số bị chia và số chia
Như vậy: Số lớn : Số bé = 8 ( vì gấp 8 lần)
Suy ra Thương = 8. Từ đó tính được Số bé = 6 x 8 = 48
Số lớn bằng = 48 x 8 = 364
b) Thương bằng 1/7 số lớn, tức là số lớn gấp 7 lần thương
Vì Số lớn = Số bé x Thương nên Số bé = 7.
Số lớn = 7 x 6 = 42
Bài 3.
a) Trong một phép chia có số chia bằng 46, thương bằng 12 và số dư là số lớn nhất có thể có. Tìm số bị chia.
b)Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 15 thì được thương là 20 và số dư là số dư lớn nhất.
Lời giải:
Trong phép chia, số dư luôn nhỏ hơn số chia. Vì vậy số dư lớn nhất thì kém số chia 1 đơn vị a) Số dư lớn nhất = Số chia - 1 = 46 - 1 = 45
Số bị chia = Thương x Số chia + Số dư = 12 x 46 + 45 = 597
b) Số dư lớn nhất = 15 - 1 = 14
Số bị chia = 20 x 15 + 14 = 314
Bài 4.
a) Một phép chia có số chia bằng 47, số dư bằng 14. Hỏi phải bớt đi ở số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết. Khi đó thương thay đổi thế nào?
b) Một phép chia có số chia bằng 24, số dư bằng 11. Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết. Khi đó thương thay đổi thế nào?
Lời giải:
a) Phép chia hết tức là không còn tồn tại số dư. Như vậy muốn giảm số bị chia để phép chia ban đầu thành phép chia hết thì ta phải bỏ đi số dư, tức là số bị chia sẽ bị giảm đi 1 lượng đúng bằng số dư.
Số bị chia = 47 x Thương + 14
Số bị chia - 14 = 47 x Thương
Lúc này, thương vẫn không đổi .
b) Muốn thêm vào số bị chia để thành phép chia hết, thì ta cần thêm 1 lượng đúng bằng hiệu giữa số chia và số dư, tức là cần thêm 24 - 11 = 13 đơn vị
Số bị chia = 24 x Thương + 11
Số bị chia + 13 = 24 x Thương + 24 = 24 x (Thương +1)
Lúc này, thương tăng 1 đơn vị.
Bài 5. Một phép chia có số chia bằng 8, số dư bằng 3. Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương tăng thêm 4 đơn vị.
Lời giải:
Như bài số 4, để thành phép chia hết thì trước tiên ta cần thêm vào số bị chia 8 -3 = 5 ( đơn vị)
Lúc này thương tăng 1 đơn vị. Để thương tăng 4 đơn vị thì ta cần tăng thêm 3 đơn vị nữa.
Mặt khác, số bị chia = Thương x Số chia, ở đây Thương và Số chia cũng có thể coi là các thừa số trong phép nhân. Ta đã biết trong 1 tích, nếu thừa số thứ nhất tăng 3 đơn vị thì tích sẽ tăng thêm 3 lần thừa số thứ hai.
Vậy để thương tăng thêm 3 đơn vị nữa thì ta cần tăng số bị chia thêm 3 x 8 = 24 (đơn vị ).
Tổng cộng cần thêm: 5 + 24 = 29 ( đơn vị )
Bài 6. Một phép chia có số bị chia bằng 79, thương bằng 9, số dư là số dư lớn nhất có thể có. Tìm số chia.
Lời giải:
Cách 1: Như các bài tập trên ta đã biết, số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị, như vậy nếu ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị thì sẽ thành phép chia hết và thương tăng 1 đơn vị, còn số chia không đổi
Số bị chia mới là: 79 + 1 = 80
Thương mới là: 9 + 1 =10
Số chia là: 80 :10 = 8
Cách 2: Đưa về bài toán tìm X.
Gọi số chia là x thì số dư la X -1. Ta có
9 x X + (X-1)=79
9 x X + X - 1= 79
X x ( 9+1) -1 = 79
X x 10 = 80
X = 80 : 10
X = 8
Dạng 3. Vận dụng kĩ thuật tính để giải toán
(Đây là dạng bài tập áp dụng các mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính với nhau, nhờ suy luận rồi đưa ra cách giải bài.)
Bài 1. Tổng của hai số là 102. Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số hạng thứ hai thì được tổng mới là 132. Tìm hai số đó.
Phân tích: Giả sử 2 số đó là A và B, theo đề bài thì:
A + B = 102
A x 4 + B = 132
So sánh 2 kết quả trên ta thấy giống nhau ở số hạng B, và sự chênh lệch nằm ở A và A x 4, tức là tổng mới hơn tổng cũ là A x 4 - A = A x 3
Lời giải:
Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số hạng thứ hai thì tổng ban đầu sẽ tăng thêm 3 lần số thứ nhất
3 lần số thứ nhất là: 132 - 102 = 30
Số thứ nhất là: 30 : 3 = 10
Số thứ hai là: 102 - 10 = 92
Chú ý: Như vậy ở dạng bài này, chúng ta cần minh họa được các phép tính có trong đề bài, từ phép tính ban đầu cho đến phép tính mới, xem giữa 2 phép tính đó có sự thay đổi của thành phần nào và thay đổi như thế nào (tăng thêm hay bớt đi, bao nhiêu đơn vị hay bao nhiêu lần ... ) để từ đó tìm ra lời giải .
Bài 2.
a) Hiệu của hai số là 1285. Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là 5195. Tìm hai số đó.
b) Hiệu của hai số là 2387. Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là 1163. Tìm hai số đó.
Lời giải:
a) Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì hiệu sẽ tăng thêm 2 lần số bị trừ (cách phân tích đề bài giống như bài 1)
2 lần số bị trừ là: 5195 - 1285 = 3910
Số bị trừ là: 3910 : 2 = 1955
Số trừ là: 1955 - 1285 = 670
b) Tương tự câu a, lưu ý rằng, nếu số trừ tăng lên thì hiệu sẽ giảm
Bài 3. Tìm 2 số có tích bằng 120, biết nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa số thứ hai 5 đơn vị thì được tích mới bằng 170
Lời giải:
Ta đã biết, trong 1 tích, nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa số thứ hai 5 đơn vị thì tích sẽ tăng thêm 5 lần thừa số thứ nhất
5 lần thừa số thứ nhất là: 170 - 120 = 50
Thừa số thứ nhất là: 50 : 5 = 10
Thừa số thứ hai là: 120 : 10 = 12
Bài 4. Tổng của hai số là 192. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai ta được tổng mới bằng 383.Tìm 2 số đó.
Lời giải:
Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất thì số thứ nhất tăng thêm 10 lần và 2 đơn vị. Như vậy, tổng mới sẽ tăng thêm 9 lần số thứ nhất và 2 đơn vị .
9 lần số thứ nhất là: 383 - 192 - 2 = 189
Số thứ nhất là : 189 : 9 = 21
Số thứ hai là: 192 - 21 = 171
Chú ý: Ở dạng bài này, cần nắm được 1 số vấn đề như sau:
- Viết thêm (hay xóa đi) chữ số 0 vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên (hay giảm đi ) 10 lần
- Viết thêm chữ số a vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên 10 lần và a đơn vị.
- Nếu xóa bỏ chữ số a ở bên phải 1 số thì số đó giảm đi a đơn vị, sau đó giảm đi 10 lần ( Ví dụ 152, bỏ đi chữ số 2 thì còn 15, tức là (152 -2) : 10 = 15).
Bài 5. Tổng của hai số là 60. Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 10 lần thì được tổng mới là 565. Tìm hai số đó.
Phân tích:
Ta minh họa
A + B = 60
A x 5 + B x 10 = 565
Rõ ràng từ 2 phép tính này chúng ta chưa thể đưa ngay về lời giải như của các bài trên, do ở đây có sự thay đổi đồng thời cả A và B.
Để giải quyết được vấn đề này, ta sẽ đưa thêm 1 phép tính phụ, đó là
(A+B) x 5 = 60 x 5 = 300 hay A x 5 + B x 5 = 300
Phép tính phụ này và phép tính A x 5 + B x 10 = 565 có sự tương đồng về A x 5 và như vậy sự chênh lệch chỉ đến từ B x 5 và B x 10
Lời giải:
Nếu gấp cả 2 số hạng lên 5 lần thì ta được tổng là: 60 x 5 = 300
Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 10 lần thì ta có tổng sẽ hơn tổng trên là 5 lần số hạng thứ hai
5 lần số thứ hai là: 565 - 300 = 265
Số thứ hai là: 265 : 5 = 53
Số thứ nhất là: 60 - 53 = 7
Nguồn tài liệu: Tiểu học Hướng Đạo
Trên đây là tất cả lý thuyết và các dạng bài tập thông dụng thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần của phép tính cộng trừ nhân chia trong chương trình Toán học lớp 4. Cảm ơn bố mẹ và các em đã theo dõi.