Câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân
b) Kẻ BH ⊥ AM, kẻ CK ⊥ AN. Chứng minh rằng BH = CK
c) CMR AH = AK
d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao
e) Khi góc BAC = 60⁰ và BM = CN = BC hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC
Đáp Án
a) ∆ABC cân, suy ra góc B₁ = góc C₁ (1)
góc B₁ + góc ABM = 180⁰ (hai góc kề bù) (2)
góc C₁ + góc ACN = 180⁰ (hai góc kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) => góc AMB = góc ACN
Xét ∆ABM và ∆CAN có:
+) AB = AC (gt)
+) góc ABM = góc ACN (cmt)
+) BM = CN (gt)
=> ∆ABM = ∆CAN (c-g-c)
Suy ra góc M = góc N
Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.
b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN (gt)
góc M = góc N (CM từ a)
Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra BH = CK.
c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).
Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK
Vậy AH = AK.
d) ∆BHM = ∆CKN suy ra góc B₂ = góc C₂
Mà góc B₂ = góc B₃ (đối đỉnh); góc C₂ = góc C₃
Nên góc B₃ = C₃
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
e)
Tam giác cân ABC góc BAC = 60⁰ nên là tam giác đều hay AB = BC = AC
Mặt khác: BM = CN = BC (gt)
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
Ta có: góc ABM = góc ACN = 120⁰ (cùng bù với góc 60⁰)
Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra góc M = góc BAM = (180⁰-120⁰)/2 = 30⁰
Suy ra góc ANM = góc AMN = 30⁰
Và góc MAN = 180⁰ - (AMN + ANM)
= 180⁰ - 2.30⁰ = 120⁰
Vậy ∆AMN có góc M = góc N = 30⁰; góc A = 120⁰
+ ∆BHM có góc M = 30⁰ nên góc B₂ = 60⁰ (hai góc phụ nhau)
Suy ra góc B₃ = 60⁰
Tương tự góc C₃ = 60⁰
Tam giác OBC có B₃ = C₃ = 60⁰ nên tam giác OBC là tam giác đều.
(Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều).