Đề bài
Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q.
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Phương pháp
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Hướng dẫn giải
a) Vẽ PB ⊥ MR
Vậy tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao PB.
Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và MQ = 2QR. Ta có:
b) Vẽ NA ⊥ MR
Vậy tam giác MNQ và RNQ có chung đường cao PB.
Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và MQ = 2QR. Ta có
c) Hai tam giác ∆RPQ và ∆RQN có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên S∆PQR = S∆QNR
Vì S∆RPQ + S∆RQN = S∆QNP
Nên S∆QNP = 2.S∆RPQ = 2.S∆RQN (3)
Từ (1), (2), (3) => S∆MNQ = S∆QNP = S∆MPQ