Đề bài
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA₁ = AD.
Hướng dẫn giải
Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC. Ta chứng minh ∆ABC cân tại A.
Kéo dài AD một đoạn DA₁ = AD
Xét ∆ADC và ∆A₁DB ta có:
DC = DB (do AD là trung tuyến)
góc D₁ = góc D₂ (2 góc đối đỉnh)
AD = DA₁ (do cách vẽ)
Vậy ∆ADC = ∆A₁DB (c.g.c)
⇒ AC = A₁B (1)
Và góc DAC = góc A₁
mà góc BAD = góc DAC (gt)
=> góc BAD = góc A₁
Xét tam giác ABA₁ có góc A₁ = góc BAD
Vậy ∆ABA₁ cân tại B
⇒ BA = BA₁ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC
Vậy ∆ABC cân tại A.
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.