Đề bài
Hình chóp S . A B C có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh S A , S B , S C và tiếp xúc với ba cạnh A B , B C , C A tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Chóp tam giác đều là chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Đáp án bài 4 trang 50 sgk hình học lớp 12
Gọi M , N , P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh S A , S B , S C ; D , E , F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh A B , B C , C A , các điểm D , E , F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh A B , B C , C A .
Ta có:
A D = A F (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ A B = A C
Tương tự: B D = B E ⇒ B C = A B ⇒ A B = B C = C A
⇒△ A B C là tam giác đều... (1)
Ta lại có A M = A D ; B N = B D = A D
và S M = S N = S P
⇒ S M + A M = S N + N B
⇒ S A = S B
Chứng minh tương tự ta có: S A = S B = S C . (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S . A B C là hình chóp tam giác đều.