Đề bài
Cho hình bát diện đều ABCDEF
Chứng minh rằng :
a) Các đoạn thẳng AF , BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) ABFD , AEFC và BCDE là những hình vuông.
Hướng dẫn giải
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Đáp án bài 4 trang 18 sgk hình học lớp 12
a) Do B,C,D,E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF ).
Tương tự, A,B,F,D đồng phẳng và A,C,F,E đồng phẳng
Gọi I là giao của ( AF ) với ( BCDE ) . Khi đó B, I, D là những điểm chung của hai mặt phẳng ( BCDE ) và ( ABFD ) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E , I , C thẳng hàng.
Vậy AF , BD , CE đồng quy tại I
Vì BCDE là hình thoi nên EC vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC , do đó các đoạn thẳng AF , BD , và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
b) Ta có tứ giác DCDE là hình thoi.
Do A I vuông góc ( BCDE ) và AB = AC = AD = AE nên IB = IC = ID = IE.
Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự ABFD , AEFC là những hình vuông.
» Bài tham khảo: Bài 3 trang 18 sgk Hình học 12